[2016년 대진고]

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[2학년 2학기 기말 미적분2]

두 함수 [eqn: f(x)= x-1 over{x^2 +1}], [eqn: g(x)=x^2 +2x-5]의 합성함수
[eqn: h(x)=(f circ g)(x)]에 대하여 [eqn: 50h'(2)]의 값은?

①

① [eqn: -6]	② [eqn: -5]	③ [eqn: -4]

④ [eqn: -3]	⑤ [eqn: -2]

함수 [eqn: f(x)=xe^ax+b]이 [eqn: f`'(0)=e^4], [eqn: f`''(0)=8e^4]을 만족시킬 때, 상수 [eqn: ab]의 값은?

④

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 12]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 20]

정적분의 값이 제일 큰 값은?

④

① [eqn: int_{- pi over4}^0 sec^2 xdx]	② [eqn: int _{0} ^{pi} |cosx|dx]

③[eqn: int _{0} ^{2} root 4-x^2 dx]	④ [eqn: int _{0} ^{3} rootx dx]

⑤ [eqn: int_{1}^2 x root x-1 dx]

함수 [eqn: f(x)=x^3 +x]의 역함수를 [eqn: g(x)]라고 할 때, [eqn: g prime (2)]의 값은?

③

① [eqn: 1over6]	② [eqn: 1over5]	③ [eqn: 1over4]

④ [eqn: 1over3]	⑤ [eqn: 1over2]

함수 [eqn: f(x)=ax+ln (x^2 +x+1)]이 극댓값과 극솟값을 모두 갖도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)]의 한 부정적분이 [eqn: F(x)]라고 할 때, 다음 조건을 모두 만족시키는 [eqn: f left( 1 over 9 right)]의 값은? (단, [eqn: x!=0]이다.)

⑤

(가) [eqn: F(x)=xf(x)+rootx]

(나) [eqn: f(4)= 1over2]

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 3]

함수 [eqn: f(x)={(x+1)^2 (x-1)}over (x-2)^3]의 [eqn: {f`'(3)} over16]의 값은?

①

① [eqn: -4]	② [eqn: -3]	③ [eqn: 1]

④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 4]

두 곡선 [eqn: y=e^x -2], [eqn: y=3e^-x] 및 [eqn: y]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 [eqn: a lnb]이다. [eqn: a+b]의 값은?

⑤

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

함수 [eqn: f(x)=xe^x]에 대하여 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

②

ㄱ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=-1]에서 극솟값을 갖는다.

ㄴ. 방정식 [eqn: f(x)+ 1 over 2e =0]의 실근의 개수는 [eqn: 2]이다.

ㄷ. [eqn: y=f(x)]과 [eqn: x]축 및 [eqn: x=-1], [eqn: x=1]로 둘러싸인
도형의 넓이는 [eqn: 2- 1overe]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

그림과 같이 곡선 [eqn: y=sinx][eqn: (0 le x le pi)]와 [eqn: x]축으로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 [eqn: x]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피는 [eqn: {a root3} over b pi]이다. [eqn: a+b]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b]는 서로소이다.)

④

① [eqn: 3]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 7]

④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 11]

구간 [eqn: (-1,```inf)]인 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f`'(x)= 1 over {x^3 +1}]이고,
함수 [eqn: g(x)=x^2]일 때, [eqn: int _{0} ^{1} {} f(x)g prime (x)dx=ln root {3} of {4}]이다. [eqn: e ^{f(1)}]의
값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: 3] 이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: f(x)=x^n e^-x]일 때, 보기에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

①

ㄱ. [eqn: f left( n over 2 right) =f`' left(n over 2 right)]이다.

ㄴ. 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=n]에서 극솟값을 갖는다.

ㄷ. 점 [eqn: (0,```0)]은 곡선 [eqn: y=f(x)]의 변곡점이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

함수 [eqn: f(x)]가 등식 [eqn: f(x)=sinx+3int_0^{pi over 2}f(x)cosxdx]을 만족시킬 때, [eqn: f left(7pi over 6 right)]의 값은?

①

① [eqn: - 5over 4]	② [eqn: - 1]	③ [eqn: - {3} over {4}]

④ [eqn: - {1} over {2}]	⑤ [eqn: - {1} over {4}]

점 [eqn: (k,```0)]에서 곡선 [eqn: y=(x-1)e ^{x}]에서 서로 다른 두 개의 접선을 그을 수 있을 때, [eqn: k]의 값의 범위는 [eqn: k<a] 또는 [eqn: k>b]이다. 상수 [eqn: b-a]의 값은?

⑤

① [eqn: 4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

최고차항의 계수가 [eqn: 2]인 삼차함수 [eqn: f(x)]의 역함수를 [eqn: g(x)]라 할 때 [eqn: g(x)]가 다음 조건을 만족시킨다. [eqn: f`'(1)]의 값은?

③

(가) 함수 [eqn: g(x)]는 실수 전체의 집합에서

미분가능하고 [eqn: g prime (x) LEQ {1} over {2}]이다.

(나) [eqn: lim _{x -> 2} {} {f(x)-g(x)} over {(x-2)g(x)} = 3 over {4}]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]

④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여
[eqn: (x+1)f`'(x)+f(x)=xe^x +1]을 만족시킬 때,
[eqn: f(2)=ae^2 + b over e +c]이다. [eqn: a+b+c]값은?

②

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

서술형

곡선 [eqn: y=lnx]에 대하여 다음 물음을 읽고 구하는 과정을 자세히 서술하시오.

(1) [eqn: 1overe x]

(2) [eqn: { 1} over { 2}e-1]

(1) 곡선 [eqn: y=lnx] 위의 점 [eqn: (e,```1)]에서의 접선을 구하는

과정을 자세히 서술하시오.

(2) 곡선 [eqn: y=lnx] 위의 점, [eqn: (e,```1)]에서의 접선과 이 곡선 및

[eqn: x]축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하는 과정을 자세히

서술하시오.

함수 [eqn: f(x)= x over {x^2 +1}]의 그래프를 그리고, 극값, 변곡점을, 구하는 과정을 증감표를 이용하여 자세히 서술하시오. (오목과 볼록을 명확히 기재하시오.)

극점 : [eqn: left(-1,``` -{ 1} over {2 }right)], [eqn: left(1,``` { 1} over {2 }right)]

변곡점 : [eqn: left(- sqrt { 3},```- { sqrt { 3} } over {4 }right)], [eqn: (0,```0)], [eqn: left( sqrt { 3},``` { sqrt { 3} } over { 4}right)]

[eqn: x]
[eqn: f`'(x)]
[eqn: f`''(x)]
[eqn: f(x)]

자연수 [eqn: n]에 대하여
[eqn: f(n)=int_0 ^ {pi over 2} {cos left( pi over 2 -nx right)}over{1+sin left(pi over 2 +x right)}dx]
일 때, [eqn: f(1)+2f(2)+f(3)] 값을 구하는 과정을 자세히 서술하시오.

[eqn: 2]

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[2학년 2학기 기말 미적분2]

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